Codensity再構成の冪等性
## Trigger
[[bpjn8j]] の「認識から実在を再構成する codensity」と，[[akz63c]] の observable subcategory，[[mg2ynp]] の捨象/reflection を，一つの必要十分条件で結んだ．
## Result
**定理（idempotent reconstruction theorem）．** 関手
\[
i:\mathcal O\to\mathcal C
\]
の codensity monad
\[
T=\operatorname{Ran}_i i
\]
が存在するとする．次は同値である．
1. monad multiplication \(\mu:T^2\to T\) が自然同型である．
2. fixed objects
\[
\mathcal C_{\mathrm{obs}}=
\{Y\in\mathcal C\mid\eta_Y:Y\to TY\text{ が同型}\}
\]
は reflective full subcategory であり，reflector は \(T\) である．
3. 観測対象からの再構成を二度行っても，一度目以上の情報を加えない．
## Proof
\(\mu\) が同型とする．monad laws より
\[
\mu_X\eta_{TX}=\operatorname{id}_{TX}=\mu_XT\eta_X,
\]
従って
\[
\eta_{TX}=T\eta_X=\mu_X^{-1}.
\]
よって \(TX\) は fixed object である．
\(Y\) が fixed のとき，写像
\[
\mathcal C(TX,Y)\longrightarrow\mathcal C(X,Y),
\qquad h\longmapsto h\eta_X
\]
を考える．逆写像は
\[
f\longmapsto\eta_Y^{-1}Tf
\]
である．unit の自然性から
\[
(\eta_Y^{-1}Tf)\eta_X=f.
\]
逆方向には
\[
\eta_Y^{-1}T(h\eta_X)
=\eta_Y^{-1}Th\,T\eta_X
=\eta_Y^{-1}Th\,\eta_{TX}
=h.
\]
従って
\[
T\dashv\mathcal C_{\mathrm{obs}}\hookrightarrow\mathcal C.
\]
逆に reflective subcategory が誘導する monad の multiplication は常に同型なので，2から1も従う．3は1の意味論的言い換えである．
## Interpretation
codensity monad は一般に「観測から再構成する」．しかしそれが「観測可能な部分圏を切り出す reflection」になるための正確な条件は
\[
\boxed{\mu:T^2\to T\text{ が可逆}}
\]
である．
- ultrafilter monad や double-dualization は一般に非冪等であり，再構成を反復すると新しい completion data が残る．
- locale 化・sheafification・各種 separated reflection のような捨象が冪等なら，それは本当に observable world への reflection である．
## Goal
Kobin にある locale，ultraproduct，compact generation，manifold reconstruction の各例について，対応する codensity monad の multiplication が可逆かを調べる．これにより「同じ捨象手続き」に見える例を，idempotent/non-idempotent の境界で分類する．
## Status
定理は任意の monad に対する標準的な idempotent-monad theorem であり証明済み．Kobin の個別例への適用と哲学的統一が新しい研究部分である．