Slice LSCと選択公理
## Trigger
[[e568dw]] の slice LSC と internal axiom of choice の接続を調べる過程で，非自明な群 \(G\) に対する epi \(G\to1\) が split しないことから \(G\text{-}\mathbf{Set}\) の IAC 失敗を結論してしまった．これは internal axiom of choice と，every epimorphism splits という external axiom of choice の混同である．[[y65duj]] の選択公理プログラムと [[j9bcyf]] の étendue criterion を正しく接続し直す．
## Result
Barr--Wells の用語では，topos \(\mathcal E\) に対し：
- \(\mathrm{AC}\)：すべての epimorphism が外的な section を持つ．
- \(\mathrm{SS}\) (Supports Split)：codomain が \(1\) の subobject である epi が split する．
- \(\mathrm{IAC}\)：任意の epi \(p:Y\twoheadrightarrow X\) と任意の \(C\) に対して \(p^C:Y^C\twoheadrightarrow X^C\) が epi である．
また \(\mathrm{AC}=\mathrm{IAC}+\mathrm{SS}\) である．
射 \(p:Y\to X\) の sections の対象を
\[
\operatorname{Sec}(p):=1\times_{X^X}Y^X
\]
とする．ここで \(1\to X^X\) は \(\operatorname{id}_X\) の transpose，\(Y^X\to X^X\) は \(p\) との postcomposition である．すると
\[
p\text{ が split}
\Longleftrightarrow
\operatorname{Sec}(p)\text{ が global point を持つ}．
\]
一方，Barr--Wells の Proposition 7.2.2 により，epi \(p\) が IAC の結論を満たすことは
\[
\operatorname{Sec}(p)\to1\text{ が epi}
\]
すなわち \(\operatorname{Sec}(p)\) が globally supported であることと同値である．
ここで [[e568dw]] の slice formula
\[
D_X:=\Xi_{\mathcal E/X}
\cong
\{(x,u)\mid u\preceq\xi_X(x)\}
\]
を仮定する．top section と slice-state map を
\[
t_X:=\langle\operatorname{id}_X,\xi_X\rangle:X\to D_X,
\qquad
\bar\xi_p:=\langle p,\xi_Y\rangle:Y\to D_X
\]
とおき，
\[
\operatorname{Lift}_{\Xi}(p)
:=1\times_{D_X^X}Y^X
\]
を定める．ここで \(Y^X\to D_X^X\) は \(\bar\xi_p\) との postcomposition，\(1\to D_X^X\) は \(t_X\) の transpose である．
section \(s:X\to Y\) について
\[
ps=\operatorname{id}_X
\quad\Longleftrightarrow\quad
\bar\xi_ps=t_X
\]
である．左辺なら \(s\) は monic なので \(\xi_Ys=\xi_X\) であり，逆向きは第一成分を取ればよい．従って自然な同型
\[
\operatorname{Lift}_{\Xi}(p)\cong\operatorname{Sec}(p)
\]
がある．よって slice LSC による正しい選択公理の判定は
\[
\mathcal E\models\mathrm{IAC}
\Longleftrightarrow
\forall p:Y\twoheadrightarrow X,
\ \operatorname{Lift}_{\Xi}(p)\to1\text{ is epi},
\]
である．一方，every epi splits という external AC は，各 \(\operatorname{Lift}_{\Xi}(p)\) が actual global point を持つことを要求する．
## Example: \(G\)-sets
非自明な離散群 \(G\) に対し \(G\text{-}\mathbf{Set}\) は IAC を満たすが AC を満たさない（Barr--Wells，Exercise GAC）．左正則作用に対する epi
\[
G\twoheadrightarrow1
\]
には equivariant section がない．しかし
\[
\operatorname{Sec}(G\to1)\cong G
\]
は global point を持たない一方で global support は持つ．従ってこの例は IAC の反例ではなく，Supports Split と external AC の失敗例である．
## Étendue との接続
Freyd--Scedrov の特徴づけによれば，Grothendieck topos が IAC を満たすことは Boolean étendue であることと同値である．従って [[j9bcyf]] の bottom criterion
\[
\mathcal E\text{ is an étendue}
\Longleftrightarrow
\Xi\text{ has a global bottom}
\]
が確立されれば
\[
\mathcal E\models\mathrm{IAC}
\quad\Longleftrightarrow\quad
\mathcal E\text{ is Boolean and }\Xi\text{ has a global bottom}
\]
となる．bottom は étendue 性を，Booleanity と合わせた条件は IAC を，さらに Supports Split を加えた条件は external AC を表す．
## Goal
[[y65duj]] の permutation-model／choice 研究では，「global section の存在」ではなく「section object の global support」を計算対象にする．特に nominal sets や continuous action topoi で，\(\operatorname{Lift}_{\Xi}(p)\) の support を subgroup／stabilizer data から記述する．
## References
- [Michael Barr and Charles Wells, *Toposes, Triples and Theories*, Chapter 7, §2](https://www.math.mcgill.ca/barr/papers/ttt.pdf)
- Peter J. Freyd and Andre Scedrov, *Categories, Allegories*, North-Holland, 1990, p.181．
- [Radu Diaconescu, *Axiom of Choice and Complementation*](https://doi.org/10.1090/S0002-9939-1975-0373893-X)
- [Ryuya Hora, *Internal Parameterization of Hyperconnected Quotients*](https://www.tac.mta.ca/tac/volumes/42/11/42-11abs.html)