Reflected Day convolution

Result

定理（reflected Day convolution）． $(\mathcal C,\otimes,I)$ を cocomplete monoidal category とし，$\otimes$ が各変数で小余極限を保つとする．

を小さい full dense monoidal subcategory で，unit を含み tensor に閉じるものとする．restricted Yoneda とその左随伴を

とする．$[\mathcal A^{\mathrm{op}},\mathbf{Set}]$ に $\mathcal A$ の tensor から誘導される Day convolution $\star$ を入れると，自然同型

がある．特に

である．

Proof

Day convolution の coend formula と co-Yoneda lemma により

一方，$\otimes$ の各変数での cocontinuity により

従って $L$ は strong monoidal である．$\mathcal A$ の density により $LNX\cong X$ なので，第二の公式が従う．

Application to games

$\mathcal C=\mathbf{Game}$，$\mathcal A=\mathbf{Game}_{\mathrm{fp}}$ を finitely presentable games の小 skeleton とし，Conway addition が各変数で cocontinuous かつ $\mathcal A$ を保つ場合，

従って Conway addition は Game 自身を前層圏と同一視した literal Day convolution ではないが，finite games 上の Day convolution を Gabriel--Ulmer 型 reflection で戻した reflected Day convolution である．

Interpretation

である．Games と Species の接点は対象の同一視ではなく，tensor の普遍表示にある．

Status

一般定理は標準的な coend argument で証明済み．Game への適用の仮定は成り立つ（人間による検証は未了）：finitely presentable なゲームは台集合が有限なゲームで（論文 v3 Lemma B.8），その充満部分圏は稠密で（Lemma B.7），1点ゲーム（unit）を含み Conway 和で閉じ（台集合は $UX\times UY$），Conway 和は各変数で余極限を保つ（Corollary B.11 の証明）．