Reflected Day convolution

Result

定理（reflected Day convolution）． $(\mathcal C,\otimes,I)$ を cocomplete monoidal category とし，$\otimes$ が各変数で小余極限を保つとする．

$$j:\mathcal A\hookrightarrow\mathcal C$$

を小さい full dense monoidal subcategory で，unit を含み tensor に閉じるものとする．restricted Yoneda とその左随伴を

$$N:\mathcal C\to[\mathcal A^{\mathrm{op}},\mathbf{Set}], \qquad L(P)=\int^{a\in\mathcal A}P(a)\cdot a$$

とする．$[\mathcal A^{\mathrm{op}},\mathbf{Set}]$ に $\mathcal A$ の tensor から誘導される Day convolution $\star$ を入れると，自然同型

$$\boxed{L(P\star Q)\cong L(P)\otimes L(Q)}$$

がある．特に

$$\boxed{X\otimes Y\cong L(NX\star NY)}$$

である．

Proof

Day convolution の coend formula と co-Yoneda lemma により

$$L(P\star Q) \cong \int^{a,b\in\mathcal A}P(a)\times Q(b)\cdot(a\otimes b).$$

一方，$\otimes$ の各変数での cocontinuity により

$$\begin{aligned} L(P)\otimes L(Q) &=\left(\int^aP(a)\cdot a\right)\otimes \left(\int^bQ(b)\cdot b\right)\\ &\cong \int^{a,b}P(a)\times Q(b)\cdot(a\otimes b). \end{aligned}$$

従って $L$ は strong monoidal である．$\mathcal A$ の density により $LNX\cong X$ なので，第二の公式が従う．

Application to games

$\mathcal C=\mathbf{Game}$，$\mathcal A=\mathbf{Game}_{\mathrm{fp}}$ を finitely presentable games の小 skeleton とし，Conway addition が各変数で cocontinuous かつ $\mathcal A$ を保つ場合，

$$X+Y\cong L(NX\star_{\mathrm{Day}}NY).$$

従って Conway addition は Game 自身を前層圏と同一視した literal Day convolution ではないが，finite games 上の Day convolution を Gabriel--Ulmer 型 reflection で戻した reflected Day convolution である．

Interpretation

$$\text{大きな圏の tensor} = \text{小さな生成対象上の組合せ論} + \text{free cocompletion/reflection}$$

である．Games と Species の接点は対象の同一視ではなく，tensor の普遍表示にある．

Status

一般定理は標準的な coend argument で証明済み．Game への適用の仮定は成り立つ（人間による検証は未了）：finitely presentable なゲームは台集合が有限なゲームで（論文 v3 Lemma B.8），その充満部分圏は稠密で（Lemma B.7），1点ゲーム（unit）を含み Conway 和で閉じ（台集合は $UX\times UY$），Conway 和は各変数で余極限を保つ（Corollary B.11 の証明）．

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