Grundy周期性のprofinite化

Trigger

2026-03-19のChatGPT会話「Grundyゲームの進展状況」で、洞がGrundy's gameの値列とその半環的・圏論的記述を調べた。翌日の会話「Superperiod length TCS」で、subtraction nimの最終周期性を unary Moore machine、代数的形式言語理論、profinite monoid で読み替えた。2026-08-27の履歴採掘で、この二つを一つの新規瓶に統合する候補として回収した。

Question

有限値列 $g:\mathbb N\to A$ の最終周期性は、各fiber $g^{-1}(a)$ がunary regular languageであることと同値である。これは自由1生成 profinite monoid から有限離散空間 $A$ への連続写像、すなわち有限 clopen 彩色と読める。

この言い換えを Grundy's game の価値列へ適用し、次を問う。

1. Grundy数列が最終周期的であることを、自由profinite monoid上の連続有限彩色の存在として特徴づけられるか。
2. mex再帰は、この連続彩色の空間上でどのような自己作用素または固定点方程式を定めるか。
3. rare/common 分解による「rare values が最終的に消えれば周期性が従う」という既存ルートを、profinite空間上の境界または非連続点の有限性として書き直せるか。

Evidence boundary

finite subtraction game では過去の有限windowが状態になるため、最終周期性とunary Moore machineの対応は標準的である。しかし Grundy's game では同じ有限window論法を使えず、最終周期性自体が未解決である。

採掘メモには、rare側の値が1287個知られ、周期3は排除済みとある。これらの数値・帰属・最新状況は、今回の瓶化で一次資料から独立再監査していない。profinite化が新しい定理を与えることもまだ示していない。

Goal

まず既知のrare/common定理と計算証拠を一次資料で固定する。次に、最終周期列の標準的profinite特徴のうち、mex再帰に特有の部分だけを切り出す。rare値有限性がその不変量で表せれば、計算実験と代数的形式言語理論を同じ証明義務へ収束させる。

Personal context

Eventual affine mex則 は別の game operation における eventual affine mex の結果であり、本瓶の派生元ではない。両者は「mex再帰が作る最終的な有限状態構造」を比較する実験対象として関連する。

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